• Si M tiene un límite N, entonces hay datos adicionales que describen una opción de banalización del G-paquete principal en N. Esa opción caracteriza un mapa de N a G. La dinámica
  de este mapa es descrita por el modelo de Wess–Zumino–Witten (WZW) en N a nivel k. Cuantización mitos Para cuantizar canónicamente la teoría de Chern–Simons, se define un estado en cada superficie bidimensional Σ en M. Como en cualquier teoría
  cuántica de campos, los estados corresponden a los rayos en un espacio de Hilbert.

• Una observable especialmente interesante, es la función de correlación de l-punto formada del producto de los bucles de Wilson alrededor de cada lazo desunido, cada uno en
  la representación fundamental de G. Uno puede formar una función de correlación normalizada dividiendo esta observable por la función de partición Z(M), que es sólo la función de correlación de 0 puntos.

• Estas se caracterizan por la afirmación de que la derivada covariante, que es la suma del operador derivada exterior d y la conexión A, se transforma en la representación
  adjunta del grupo de calibración G. El cuadrado de la derivada covariante con sí mismo puede ser interpretado como una 2-forma g-valuada F llamada la forma de curvatura o la intensidad de campo.

• Más precisamente, demostró que el espacio de estados de Hilbert, es siempre finito dimensional, y puede ser canónicamente identificado con el espacio de bloques conformes
  del modelo WZW de G a nivel de k. Los bloques conformes son localmente la Función holomorfa y factores anti-holomorfos cuya suma de productos para la funciones de correlación de una teoría conforme de campos 2-dimensional.

• Una teoría particular de Chern–Simons se especifica mediante una opción del grupo de Lie simple G conocido como el grupo de calibración de la teoría y también un número conocido
  como el nivel de la teoría, que es una constante que multiplica la acción.

• Estas teorías son teorías topológicas de tipo-Schwarz, no se requiere introducir métrica en M. La teoría de Chern–Simons es una teoría de calibración, lo que significa que
  una configuración clásica en la teoría de Chern–Simons M con calibrador de grupo G, es descrita por un paquete principal G en M. La conexión de este paquete se caracteriza por una conexión de una forma A la que es valorada en el álgebra de
  Lie g del grupo de Lie G. En general la conexión sólo está definida en parches coordinados individuales, y los valores de A en parches diferentes están relacionados por mapas conocidos como indicadores de las transformaciones.

• Sin embargo, si se añade fermiones de Majorana, debido a la anomalía de paridad, al integrarse a cabo conducen a una teoría pura de Chern–Simons, con un bucle de renormalización
  a nivel de Chern–Simons por −n/2, en otras palabras, la teoría de nivel k con n fermiones, es equivalente al nivel k − n/2 de la teoría sin fermiones.

• Un bucle de Wilson, es la holonomía alrededor de un lazo en M, en una determinada representación R de G. Como estaremos interesados en productos de bucles de Wilson, sin pérdida
  de generalidad, podemos limitar nuestra atención a representaciones irreducibles R. Más concretamente, dada una representación irreducible R y un bucle K en M se puede definir el lazo de Wilson por donde A es la conexión 1-forma, y tomamos
  el valor principal de Cauchy de la integral de contorno, y es la ruta exponencial orden.

• El número de vinculación de un bucle con el mismo, entra en el cálculo de la función de partición, pero este número no es invariante bajo pequeñas deformaciones y en particular
  no es un invariante topológico.

• Relaciones con otras teorías Teorías de cuerdas topológicas[editar] En el contexto de la teoría de cuerdas, una teoría de Chern–Simons de U(N), en un Lagrangiana orientada,
  3-subvariedad M de una 6-variedad X, surge como la teoría de cuerdas de campo de cadenas abiertas, terminadas en una D-brana envolvente de X en el modelo-A topológico de cadena en X. El modelo-B de la teoría de campo topológico, de cadena
  abierta, en el volumen de mundo compacto de una pila de D5-branas, es una variedad 6-dimensional de la teoría de Chern–Simons, conocida como teoría de Chern–Simons holomorfa.

• Por ejemplo, en la teoría de la Chern–Simons a nivel k es la función de correlación normalizada, hasta una fase, igual a veces el polinomio HOMFLY.

• Σ es de codimensión uno y así uno puede cortar M a lo largo de Σ. Después de dicha corte M será una variedad con límite y, en particular, clásicamente la dinámica de Σ se
  describirá por un modelo WZW.

• Cuando Σ es un 2-toro los estados corresponden a las representaciones integrables del álgebra de Lie afín, correspondientes a g al nivel de k. Las .caracterizaciones de los
  bloques conformes en géneros mayores, no son necesarias para solución de Witten de la teoría de Chern–Simons.

• Renormalización a nivel de un bucle[editar] Si se incluye masa en una teoría de calibración de Chern–Simons, en general ya no es topológica.

• Además de la U(N) y las teorías de Chern–Simons SO(N) cuando N es grande, se aproximan bien por modelos de matriz.

• Por lo tanto, las soluciones clásicas a G de la teoría de Chern–Simons, son las conexiones planas de G-paquetes principales en M. Las conexiones planas dependen enteramente
  de holonomías alrededor de ciclos no contráctiles en la base M. Más precisamente, están en correspondencia uno a uno, con las clases de equivalencia de homomorfismos desde el grupo fundamental M para con el grupo de calibración G, hasta la
  conjugación.

• La acción es dependiente de la calibración, sin embargo la función de partición de la teoría cuántica está bien definida cuando el nivel es un entero y el medidor de intensidad
  de campo desaparece en todos los límites del espacio-tiempo tridimensional.

• En el caso especial en que M es una 3-esfera, Witten ha demostrado que estas funciones de correlación normalizadas son proporcionales al conocido polinomios de nudo.

• La física clásica de la teoría de la Chern–Simons es independiente de la elección del nivel k. Clásicamente, el sistema se caracteriza por sus ecuaciones de movimiento, que
  son el extremo de la acción con respecto a las variaciones campo A.

• Este término puede ser inducido mediante la integración de un campo de Dirac masivo cargado.

• Dinámica[editar] La acción S de la teoría de Chern–Simons es proporcional a la integral de la Chern–Simons de la 3-forma La constante k se llama el nivel de la teoría.

• Términos de Chern–Simons en otras teorías El término de Chern–Simons también puede añadirse a los modelos que no son teorías de campo cuántico topológico.

• En 3D, esto da lugar a un fotón masivo, si este término se añade a la acción de la teoría electrodinámica de Maxwell.

 

Works Cited

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